离心泵的基本方程式
离心泵是靠叶轮的旋转来抽送水的，那么工作水流在旋转的叶轮中究竟是如何运动的呢？一个旋转的叶轮能够产生多大的扬程？对于这些运动规律，我们将借助于离心泵的基本方程式的推导和分析，逐一得到进一步的了解。
1、叶轮中液体的流动情况
上图所示为离心泵闭式叶轮的平面及剖面。水流从吸水管沿着泵轴的方向以绝对速度C₀自叶轮进口处注入，液体质点在进入叶轮后，就经历着一种复合圆周运动，因此，研究液体质点在叶轮中的流动时，存在着两个坐标系统：①旋转着的叶轮是动坐标系统；②固定不动的泵壳或泵座是静坐标系统。水流在叶轮槽中以速度W沿叶片而流动，这是液体质点对动坐标系统的运动，称为相对运动，其中相对速度为W。 在这同时，水流又有随叶轮一起做旋转运动的一个圆周速度u，此速度可看做叶轮这个动坐标系统对泵壳这个静坐标系统的运动速度，称为牵连速度。上述这两个速度的合成，即为液体质点对泵壳的绝对速度C。对泵壳而言，水流将以绝对速度C在运动着。则水流在叶轮中的复合运动可用速度平行四边形来表示，如上图示。图中速度C₁与u₁和C₂与u₂的夹角，称为α₁和α₂角，W₁与负u₁和W₂与负u₂间的夹角，称为β₁和β₂角，在泵的设计中，β₁又被称为叶片的进水角，β₂被称为叶片的出水角。
当叶片出口是径向时，β₂=90º，如上图所b示。当β₁和β₂均小于90º时，叶片与旋转方向呈前弯式叶片，如上图c所示。因此，β₂角的大小反映了叶片的弯度，是构成叶片形状和叶轮性能的一个重要数据。实际工程中使用的离心泵叶轮，大部分是后弯式叶片。后弯式叶片的流道比较平缓，弯度小，叶槽内水力损失较小，有利于提高泵的效率。一般前弯式叶片，槽道短而弯道大，叶轮中水流的弯道损失大，水力效率低。一般离心泵中常用的β₂值为20º~30º之间。
在以下的叙述中，均以后弯式叶片为对象，并通常以速度三角形来代替速度平行四边形。如上图所示为叶轮出口处的速度三角形。图中C₂的切向分速用符号C₂ᵤ表示，径向分速用符号C₂ᵣ表示。
即：
C₂ᵤ=C₂cosα₂=u₂-C₂ᵣcotβ₂ （式1）
C₂ᵣ=C₂sinα₂ （式2）
2、叶片式泵的基本方程式推导
研究了叶轮中液体的运动发后，可以利用动量矩定理来推导叶片式泵的基本方程式。为了简化分析推理，对叶轮的构造和液流性质先作3点假定：①液流是恒定流；②叶槽中有无限多叶片，即液流均匀一致，叶轮同半径处液流的同名速度相等；③液流为理想液体，即不显示黏滞性，不存在水头损失，而且密度不变。
如上图所示离心泵某一叶槽内水流上的作用力。在时间t=0时，这段水流居于abcd的位置，经过dt时段后，这段水流位置变为efgh。在dt时段时，有很薄的一层水abfe流出叶槽，这层水的质量，用dm表示。根据前述假定可知，在dt时段内，流入叶槽的水cdhg也具有质量dm，而且叶槽内的那部分水流abgh的动量矩可认为在dt时段内没有发生变化。因此叶槽所容纳的整股水流的动量矩变化等于质量dm的动量矩变化。根据流动均匀一致的假定，应用动量矩定理可写出：
dm/dt（C₂cosα₂R₂-C₁cosα₁R₁)=M （式3）
式中
M —— 作用在叶槽内整股水流上的所有外力矩；
R₁，R₂ —— 分别为叶轮进口和出口至轴中心的半径。
组成M的外力有：①叶片迎水面的背水面作用于水的压力 P₂ 及 P₁ ；②作用在 ab 与 cd 面上的水压力 P₃ 及 P₄ ，它们都沿着径向，所以对转轴没有力矩；③作用于水流的摩擦阻力 P₅ 及 P₆ ，但由于是理想液体，故不予考虑。
把（式3）推广应用到流过叶轮的全部叶槽的水流时，式中的M须换成作用于全部水流的所有力矩之和∑M，式中的 dm/dt 可改写成 ρQт ，因此得：
∑М=ρQт(C₂cosα₂R₂-C₁cosα₁R₁) （式4）
式中
Qт —— 通过叶轮的理论流量。
根据假定3知道，叶轮是在无水力损失下运转，故叶轮上的功率全部传给了液体，其理论功率 Nт 可以用外力矩（∑М）和叶轮旋转角速度（ω）的乘积来表示。即：
Nт=∑Мω （式5）
又知，理论功率 Nт=ρgQтHт ，故得：
Hт=∑Мω/ρgQт （式6）
将（式4）代入（式6）得：
H₁=ω/g(C₂R₂cosα₂-C₁R₁cosα₁) （式7）
由假定2可知：u₁=R₁ω ，u₂=R₂ω ，代入（式7）得：
Hт=1/g(u₂C₂ᵤ-u₁C₁ᵤ) （式8）
（式8）为离心泵的基本方程式。
3、离心泵基本方程式的讨论
3.1、为了提高泵的扬程和改善吸水性能，大多数离心泵在水流进入叶片时，使 α₁=90º ，也即 C₁ᵤ=0 ，此时，基本方程式可写成：
Hт=u₂C₂ᵤ/g （式9）
由上式可知，为了获得正值扬程（Hт>0），必须使 α₂<90º ，α₂ 愈小，泵的理论扬程愈大。在实际应用中，水泵厂一般选用 α₂=6º~15º 左右。
3.2、水流通过泵时，比能的增值 Hт 与圆周率速度 u₂ 有关。而 u₂=nπD₂/60 ，因此，水流在叶轮中所获得的比能与叶轮的转速（n）、叶轮的外径（D₂）有关。增加转速（n）和加大叶轮径（D₂），可以提高泵的扬程。
3.3、基本方程式在推导过程中，液体的密度 ρ 并没起作用而被消掉的，因此，该方程可适用于各种理想流体。这表明，离心泵的理论扬程与液体的密度无关，其解释理由是：液体在一定转速下所受的离心力与液体的质量，也就是它的密度有关，但液体受离心力作用而获得的扬程，相当于离心力所造成的压强，除以液体的 ρg 。这样 ρg 对扬程的影响便消除了。然而，当输送不同密度的液体时，泵所消耗的功率将是不同的。液体密度越大，泵消耗的功率也越大。因此，输送液体的 ρ 不同，而理论扬程 Hт 相同时，原动机所须供给的功率消耗是完全不同的。
3.4、由叶轮的进出口速度三角形图可知，按余弦定律可得：
W₁²=u₁²+C₁²-2u₁cosα₁ （式10）
W₂²=u₂²+C₂²-2u₂cosα₂ （式11）
将上两式除以 2g，并相减可得：
（u₂C₂cosα₂-u₁C₁cosα₁）/g=u₂²-u₁²/2g+C₂²-C₁²/2g+W₁²-W₂²/2g
因此： Hт=u₂²-u₁²/2g+C₂²-C₁²/2g+W₁²-W₂²/2g （式12）
式12的含义，从水力学的相对运动能量方程中可以知道，泵叶轮进出口断面的势能方程为：
u₂²-u₁²/2g+W₁²-W₂²/2g =（Z₂+P₂/ρg）-（Z₁+P₁/ρg） （式13）
如果用 H₂ 代表泵叶轮所产生的动扬程，可得：
H₂ =C₂²-C₁²/2g （式14）
将 式13 、 式14 、 式15 代入 式12 ，可得：
Hт = H₁ + H₂ （式15）
可见，泵的扬程是由两部分能量所组成的：一部分为势能扬程（H₁）；另一部分为动扬程（H₂），它在流出叶轮时，以比动能的形式出现。在实际应用中，由于动能转化为压能过程中，伴有能量损失，因此动扬程 H₂ 这一项在泵总扬程中所占的百分比愈小，泵壳内部的水力损失就愈小，泵的效率将提高。
4、基本方程式的修正
在基本方程式的推导中，有3点假定，现分述并修正如下：
假定1、关于液体是恒定流问题。当叶轮转速不变时，叶轮外的绝对运动可以认为是恒定的。在泵开动一定时间以后，外界使用条件不变时，这一条假定基本上可以认为是能满足的。
假定2、关于叶槽中无限多叶体，即液流均匀一致，叶轮同半径处液流的同名速度相等问题。这在实际应用中是有差异的。实际泵的叶轮叶片一般为 2~12 片左右，在叶槽中，水流具有某种程度的自由。当叶轮转动时，叶槽内水流的惯性，反抗水流本身被叶槽带着旋转，趋向于保持水流的原来位置，因而相对于叶槽产生了“反旋现象”。下图“反旋现象对流速分布的影响 b”所示，为水流在封闭叶槽中的反旋现象。
上图“反旋现象对流速分布的影响 a”表示无反旋情况下的流速分布。泵运转中，叶槽内的实际相对速度等于 a 与 b 所示的速度之叠加，如图中 c 所示。
由于反旋，靠近叶片背水面的地方，流速提高压力降低。靠近叶片迎水面的地方，流速降低压力升高。这与叶轮内叶片迎水面的压力高于背水面的事实是相符合的，而与叶轮内水流运动均匀一致的假定是相矛盾的。因此，泵叶槽中流速的实际分布是不均匀的。
同时，由于反旋的影响，使叶轮出口液体的相对速度偏离了叶片表面的切线方向。图“反旋对出口速度三角形的影响”给出了叶轮出口速度三角形的变化。从图中可知，有限叶片中液体的液流角 β'₂ 小于叶片的出口角 β₂ ，同时也使得 C'₂ᵤ 小于 C₂ᵤ ，这样有限叶片数时的叶轮的理论扬程 H'т将小于无限多叶片假设时的理论扬程 ，即 Hт，即：
H'т= u₂c'₂ᵤ/g<Hт=u₂c₂ᵤ/g 或 H'т=Hт/1+p
式中 p 称之为滑移系数，目前尚无精确理论来计算 p 值。
假定3、关于理想液体的问题。由于泵站抽升的是实际液体，在泵壳内有水力损耗（包括叶轮进、出口的冲击，叶槽中的紊动，弯道和摩阻损失等），因此泵的实际扬程（H）值，将永远小于其理论扬程值。泵的实际扬程可用下式表示：
H = ηhH'т = ηh（H'т/1+p） （式16）
式中
ηh —— 水力效率（%）
综上所述，我们已推导和讨论了离心泵的基本方程式，知道了叶轮中水流的运动情况以及离心泵的实际扬程（α₁=90º）小于其理论扬程。
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本专栏文章来自：中国建筑工业出版社-许仕荣《泵与泵站.第六版》；大连理工大学出版社-徐士鸣《泵与风机-原理及应用》；王圃、龙腾锐《给水泵站的水泵优选与节能改造》；金维、姜乃昌《停泵水锤及其防护》等文献。本站旨在泵与泵站技术的学习分享，非商业用途。我们致力于保护作者版权，如涉及侵权，敬请联系我们后台删除。
